Теплопроводность

 

технолог литейного производства

Основной закон теплопроводности

Теплопроводность передает тепло  в газах, жидкостях и твердых телах.

Из рассмотрения двух изотерм  с температурой t и t + Δt можно сделать вывод, что в конкретной точке (например, 0). Наиболее резкое изменение температуры наблюдается в направлении  нормали  к изотермическим поверхностям (рис.1).

теплопроводность, определение температурного градиента

   Предел отношения разности температур Δt  к расстоянию между  изотермами по нормали Δn (ᴼ С/ь) называют температурным градиентом:

Lim Δt/ Δn = dt/dn = grad t,

Его положительным направлением считается направление в сторону возрастания температуры. По температурному  градиенту можно судить о том, насколько быстро изменяется  температура на данном отрезке пространства.

Тепловая энергия распространяется всегда только в сторону областей с меньшей  температурой. Направление теплового потока противоположно  направлению температурного градиента  (рис. 2).

теплопроводностиь, направление векторов теплового потока

   Основной закон распространения теплоты путем теплопроводности имеет вид:

q = — λ grad t.

Где,  q – поверхностная плотность теплового потока, Вт/м2; λ – теплопроводность, Вт/(м ˑК).

Знак «-» свидетельствует о том, что  направления теплового потока и температурного  градиента противоположны. Числовое значение λ показывает, какое количество теплоты в Дж  проходит  через стенку толщиной 1м,  имеющей  поверхность 1 м2 при разности температур на внутренней и наружной поверхностях  стенки 1 ᴼ С.

Теплопроводность  λ – физический параметр вещества- зависит от свойств тела: объемной массы, давления и температуры.  Для газов λ = 0,005 – 0,5 Вт/(м ˑ К); с повышением температуры λ возрастает.

Для жидкостей λ = 0,08 – 0,6 Вт/(м ˑ К); с повышением температуры λ уменьшается.  Для теплоизоляционных и огнеупорных  материалов λ = 0,2 – 10 Вт/(м ˑ К); с повышением температуры λ возрастает. Для металлов λ = 2 – 360 Вт/(м ˑ К);  с повышением температуры λ для большинства металлов уменьшается.

Рассмотрим некоторые  случаи передачи  теплоты теплопроводностью для стационарного потока температурного поля.

 

Теплопроводность плоской стенки

Плоская однослойная стенка

   Имеем стенку толщиной s из материала с теплопроводностью λ .  Температура наружных  поверхностей стенки t1 b t2. Температура изменяется  только в направлении оси х  (рис 3) , т.е. температурное поле одномерное и плоские  изотермические поверхности  расположены параллельно оси t.

теплопроводность, плоская однослойная стенка

При стационарном температурном поле  граничные условия можно записать так:

При х = 0 t = t1;  при х = st = t2 и t1 >  t2.

Рассмотрим слой стенки между двумя  изотермическими поверхностями с температурой t и t + Δt. Для этого слоя

Q = — λ dt/dx  или dt = -q dx/ λ.

После интегрирования этого выражения получим

t= -qx/λ + C,

где С – константа интегрирования.

Константу С определяют на граничных условиях х = 0, t = t1.

Подставляя эти значения в уравнение получим

t1 = — q ˑ 0/λ + CD, С = t1.

При подстановке в уравнение  граничных условий (х = s,t = tи константы интегрирования находим

t2  = — qs /λ + t1.

Затем определяем  поверхностную  плотность теплового  потока:

q= -λ (t 2 – t1)/s = (t1 – t2)/R,

где R  = s/λ  — тепловое сопротивление стенки,  характеризующее падение температуры в кельвинах при прохождении  через стенку  удельного теплового потока,  равного единице.

Тепловой поток через стенку с площадью поверхностью F, м2,

Q = qF.

Количество теплоты за время τ , с,

W = τQ.

   Плоская многослойная стенка

Многослойной называется стенка, состоящая из  нескольких разнородных слоев. На печах, как правило, применяют многослойные стенки. Например,  первый слой (со стороны рабочего пространства печи)  состоит  шамотного огнеупора, второй – из диатомита, третий – из асбестового картона и четвертый слой представляет собой стальной лист каркаса печи.

Рассмотрим стенку, состоящую из трех  слоев (рис 4). Теплопроводности  материалов каждого слоя различны и соответственно  равны λ1, λ2, λ3 ; толщина слоев ss. s2. s3.

теплопроводность, плоская многослойная стенка

   Температуры наружных поверхностей равны t1 и t4.  Принимаем, что слои плотно прилегают друг к другу и в месте их контакта имеют одинаковую температуру. Тепловой поток направлен  от поверхности  с температурой t1 к поверхности с температурой t4.

Поверхностная плотность теплового потока, Вт/м2, через первый слой

q1 = λ1(t1 – t2)/S1.

Через второй слой

q2 = λ2(t2 – t3)/S2.

через третий слой

q3 = λ3(t3 – t4)/S3.

При стандартном температурном поле  поверхностная  плотность  теплового потока через первый слой равна  поверхностной плотности теплового потока через второй слой и соответственно  третий слой, т.е.

q1=q2=q3=q.

Тогда изменение температуры в каждом слое

t1— t2 = qs11;

t2— t3 = qs22;

 

технолог литейного производства

t3— t4 = qs33;

Складывая левые и правые части  этих уравнений, получим

t1 – t4 =q (s11 + s22 + s33),

откуда  поверхностная плотность  теплового потока, кВ/м2,

температура между слоями tt b t3 можно определить  по  следующим уравнениям:

t2 = t1 – qs11; t3 = t2 – qs22;

Если стенка состоит из n слоев, то,

q= (t1— tn+1)/( s11 + s22 + s33+ …+ snn).

При нестационарном температурном поле, т.е. когда стенка прогревается или охлаждается, q1.q2.q3 не равны  между собой.

 

Теплопроводность цилиндрической стенки

Дымовые трубы, вагранки,  барабанные печи, своды печей имеют стенку цилиндрической формы.  При достаточной длине  цилиндрической однослойной стенки температура в ней изменяется только в радиальном направлении х (рис 5).

теплопроводность, цилиндрическая однослойная стенка

Температурное поле в такой стенке- одномерное,  а изотермические поверхности имеют цилиндрическую форму, их ось  совпадает с осью стенки. Распространение теплоты теплопроводностью  через цилиндрическую стенку отличается от  распространения  теплоты через плоскую стенку, так как  у  цилиндрической стенки площадь ее  внутренней поверхности меньше площади наружной.

Тепловой поток, проходящий через   стенку трубы, Вт,

Q= 2πλl(t1-t2) In (d2/d1).

Где  l – длина трубы, м; λ –теплопроводность материала стенки, Вт/(м ˑ К); t1.t2 – температура внутренней и наружной поверхности трубы, ᴼС; d1.d2 —  внутренний и наружный диаметр трубы, м.

Тепловой поток через  многослойную  цилиндрическую стенку,

Q =2πl(t – tn+1)/(1/λ1)In d2/d1+…(l/λn) In (dn+1/dn).

Нестационарная теплопроводность

При нестационарном температурном поле  происходит изменение  температуры тела, т.е.  тело нагревается  или охлаждается.  Скорость изменения температуры тела  характеризуется коэффициентом  температуропроводности, м2/с,

a =  λ/(cꝩ),

где с – удельная теплоемкость тела; ꝩ — плотность тела.

Коэффициент температуропроводности тела характеризует способность тела  выравнивать температуру в его  отдельных частях. Чем выше значение коэффициента  температуропроводности тела, т.е. чем  больше отношение его  теплопроводности λ к объемной  теплоемкости cꝩ, тем меньше разность  температуры между отдельными частями тела.

Чем выше значение коэффициента температуропроводности  тела, тем с  большей скоростью изменяется его температура.

Изменение температуры тела при нестационарном температурном поле

дt/дτ=а (д2t/дх2 + д2t/ду2 + ддtz2).

Для однозначного решения уравнения необходимо  задать  краевые условия,  которые в данном случае слагаются из  начальных и граничных условий.

Начальные условия для дифференциального уравнения теплопроводности  сводятся к заданию функции t=ψ(x,y,z), характеризующей распределение температуры в  нагреваемом теле  в какой-то определенный момент, например в момент начала  нагрева.

Одновременно задаются геометрические размеры тела и его  физические свойства.

Граничные условия сводятся к заданию  воздействия  окружающей среды  на нагреваемое тело:

  • температуры поверхности тела в зависимости  от  времени нагрева ( граничные условия 1 рода);
  • теплового потока, проходящего через поверхность  тела ( граничные условия II рода);
  • температуры окружающей среды и условий теплопередачи между средой и телом (граничные условия iII рода.

Дифференциальное  уравнение теплопроводности решает  с помощью рядов Фурье.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности для поверхности и центра тела устанавливает функциональную  зависимость следующих  безразмерных чисел (критериев): относительной избыточной температуры для поверхности тела Ɵпов,  относительной избыточной  температуры для центра тела Ɵц, числа Био Bi,  числа Фурье Fo, т.е. Ɵпов = ψ (Bi, Fo) и Ɵц =ψ(Bi, Fo).

В свою очередь

Ɵпов = (tпеч – tkпов)/(tпеч – tнпов);

Ɵц,= (tпеч – trw) / (tпеч— tнц);

Bi = αs/λ; Fo = αψ/s2,

Где tпеч – температура печи, ᴼС; tнпов, tкпов – температура поверхности тела в начале и конце нагрева, ᴼС , tнц,, tкц – температура  центра тела в начале и конце нагрева, ᴼС; α —  коэффициент теплопередачи между средой и телом, Вт/(м2 ˑ К); s  — расчетная толщина тела, м; λ – теплопроводность тела, м2/с; τ  — время нагрева  тела, с.

Графическая зависимость Ɵпов =ψ (Вi, Fo)  для плиты и  цилиндра показана на рис 6 а,б.

теплопроводность, графики для расчета нагрева

 По графикам определяют  температуру поверхности тела.  Графическая зависимость  Ɵц = ψ(Bi, Fo) для плиты и цилиндра показана на рис 7а,б.

теплопроводность, графики для расчета нагрева и охлаждения

   По графикам можно определить температуру центра тела.

 

 

Используемая литература:

«Печи и сушила литейного производства,», Г.П. Долотов, Е.А. Кондаков.

 

 

 

 

 

 

 

 

технолог литейного производства



Эти материалы будут вам интересны: